전 세계 수학자가 극찬한
수학 공식 가운데
가장 아름다운 공식!
e??π+1=0
신의 방정식이라고 불리는 수학 공식!
단순해 보이는 5개의 숫자 안에 숨겨진 연결고리
이
책은 수학 공식의 중요성을 알리는 데 앞장서고 있는 전 세계 수학자들이 모여 오일러 공식을 선정하고 직접 집필한 기획 도서이다. 그러면서 수학 기초 공식에 대해 학생 및 일반인에게 오일러의 공식이 가장 쉽고 아름다운 이유들에 대해 소개하고 있다. 위대한 문학 작품이나 예술 작품과 마찬가지로, 위대한 수학도 흥미를 불러일으키고 아름다우며 깊이가 있다는 사실을 알리는 데 목적을 두고 있는 것이다.
수학은 어렵고 복잡한 학문이라는 인식이 많다. 수많은 수포자들이 생기는 이유가 “수학=골치 아프고 어려운 과목”이라는 선입견 때문일 것이다.
그러나 오일러Leonhard Euler에게 수학은 일상이었다.
“사람이 호흡하듯, 독수리가 공중을 날듯, 겉보기에는 별달리 애쓰는 흔적도 없이 계산을 해낸” 인물이었다.
- 도미니크 프랑수아 장 아라고Dominique Francois Jean Arago
일반인은 이해하지 못하겠지만, 오일러는 어린아이를 무릎에 안고 큰 아이들은 그의 둘레를 뛰놀게 하면서 연구 보고를 쓰는 일도 흔히 있었다. 가장 어려운 수학을 얼마나 수월하게 써 나가고 있었는가를 알려 주는 일화이다.
전설과도 같은 이야기도 전한다. 물론 과장이 섞인 말이지만, 오일러는 식사하라는 재촉을 두 번 받는 동안인 반 시간 남짓이면 한 편의 수학 논문을 써냈다고 한다.
그런 오일러가 ‘eiπ + 1 = 0’이라는 어려워 보이면서도 단순하게 해석할 수 있는 공식을 만들어 내었다.
이 공식은 사람들이 ‘신의 방정식’이라고 부르고 있다. 겉으로는 단순하고 간결해 보이지만 수학에서 중요한 다섯 개의 상수(0, 1, ??, π, e)와 중요한 세 개의 연산(더하기, 곱하기, 지수)만으로 하나의 공식을 완성시켰다.
수학 전문가들이 오일러 공식을 가장 아름다운 수학 공식이라고 꼽은 것처럼, 오늘날 오일러 공식은 전기 공학자들과 물리학자들에게는 없어서는 안 될 기본 도구로 자리 잡았다. 또한 회로 설계 및 분석을 단순화한 것에 머물지 않고 20세기 동안 진행된 전기 발전의 혁신을 가속화하는 데 공헌했다고도 할 수 있다. 그래서 오일러의 공식은 그 자체로도 매우 아름다워 ‘수학자들이 내놓은 보석’으로 불리지만, 복소 해석에서 오일러의 공식은 약방의 감초처럼 절대 빠질 수 없는 존재이며 활용 빈도가 아주 높다고 할 수 있다.
그렇다면 오일러 공식은 어떻게 증명할까? 미분을 쓰면 오일러 공식을 쉽게 증명할 수 있다고 수많은 교재와 웹사이트에서는 그렇게 설명하고 있다. 하지만 복소수 함수의 미적분학을 알아야 한다거나, 미분 방정식을 알아야 한다면 골치 아픈 이야기가 되어 버린다. 더구나 왜 그런 공식이 나오는지 선뜻 와 닿지는 않는다. 그래서 이 책에는 오일러 공식을 어떻게 설명하는지, 미적분학을 쓰지 않고도 어떻게 오일러 공식을 이해할 수 있는지에 대해 잘 설명되어 있다.
아름다운 것에 대한 이유를 설명하면 오히려 아름다움을 해치기 마련인 것처럼, 아름다움을 설명하기보다는 이 책을 토대로 독자 여러분이 오일러 공식을 충분히 감상할 시간을 주는 것이 바람직할 것이라 생각된다. 쉽기 때문에 아름답다는 말로 표현한다면 억측일까?
모쪼록 이 책에 나오는 오일러에 대한 내용들을 좀 더 깊숙이 들여다보면서 일반 수학 지식을 넓히는 데 큰 힘이 될 뿐만 아니라 수학에 대해 한걸음 더 나아가는 데에도 큰 도움이 될 수 있었으면 한다.
■ 전 세계 수학자가 극찬한 수학 공식 중 가장 아름다운 신의 방정식!
eiπ + 1 = 0
수학 교과서에서는 ‘오일러의 공식’이라고 불리지만 어떤 이들은 이 공식에서 발견되는 가장 매력적이고 놀라운 수학적 진실을 부르기에는 너무 흔한 이름이라고 여겨 이것을 ‘신의 방정식’이라고 부른다. 1750년 이 사실을 발견한 오일러는 다음과 같은 말을 했다고 한다.
“이것은 창조주의 언어이다.”
그런데 방정식을 살펴보면 지수에 복소수가 있다. 이것이 왜 아름다울까? 진짜 아름다움은 아무나 쉽게 느낄 수 없다.
오일러는 지수를 복소수까지 넓히고 있는데, 이는 어쩌면 기적에 가까운 공식이라 부를 수도 있겟다. 양수의 거듭제곱이 음수(-1)가 될 수 있다는 것을 살펴보자. 실수 세계에서 양수를 거듭제곱하면 항상 양수가 된다. 그런데 e를 ??π번 곱하면(eiπ) -1이 나온다. 오일러 공식을 통해서 지수에 허수가 들어가면 양수의 거듭제곱도 음수가 된다는 사실이 밝혀진 것이다. 어찌 기적이 아닐 수 있겠는가! 더욱이 그 속에는 수학 자체를 표현하는 아름다움이 느껴질 뿐만 아니라 그 이전까지는 느낄 수 없었던 수학의 새로운 맛을 우리에게 선사해 준다.
때문에 세계적인 수학자들도 오일러 공식을 극찬하였다.
리처드 파인먼Richard Phillips Feynman은 오일러 공식을 보고 “우리의 보석!”이라는 감탄사를 연발하였고, 스탠포드대학의 수학자 키스 데블린Keith Devlin도 “오일러의 방정식은 흡사 사랑의 정수를 포착한 셰익스피어의 소네트나 인간 육체의 아름다움을 표면적 차원 이상으로 표현한 회화 작품같이 존재의 가장 근원적인 곳을 파헤치고 있다.”라고 말하며 오일러 상수에 혀를 내둘렀다.
폰 린데만Carl Louis Ferdinand von Lindemann도 오일러 공식을 대입하여 π가 초월수라는 것을 증명함으로써 수천 년 동안 수학의 난제로 꼽혔던 문제를 해결하기도 했다.
■ 오일러의 생애
오일러는 18세기에 가장 영향력 있는 천재 수학자였다. 그는 이론 수학자로서 대수학, 기하학, 미적분학, 정수론 분야에 상당히 의미 있는 많은 업적을 남겼으며, 응용수학자와 과학자로서 역학, 천문학, 광학, 조선학 분야에서도 중요한 발견을 이루어 냈다. 오일러는 병균에 의한 눈 질환을 앓게 되었고, 2년 후에는 오른쪽 눈의 시력을 완전히 잃었다고 알려져 있다. 이 무렵 오일러의 초상화가 대부분 왼쪽 옆모습으로 그려진 것은 이런 속사정이 숨어 있었기 때문이다.
그러나 이런 신체적 결함 역시 그의 긍정적인 삶의 자세를 한 치도 흐트려 놓을 수는 없었다. 예전과 다름없이 왕성한 연구를 계속한 오일러는 다면체라고 부르는 구조에 대한 ‘모서리+2’ 공식을 발견했는데, 다면체는 삼각형, 사각형, 육각형과 같은 다각형의 면을 갖는 상자, 피라미드, 혹은 축구공 같은 물체를 말한다. 모서리 개수를 최초로 발견한 것은 데카르트Rene Descartes였지만, 데카르트는 자신이 발견한 것에 대해 증명하지 못했다. 이것을 100여 년이 흐른 뒤에 오일러가 증명해 낸다. 이처럼 규칙을 완벽하게 만족하는 수학의 아름다움을 증명한 것이 바로 오일러이다. 삼각함수의 기호 sin, cos, tan 등을 비롯하여 자연 대수의 근에 쓰이는 e, 허수의 기호 i도 처음으로 오일러가 사용한 기호이다.
오일러는 마지막 17년을 앞이 안 보이는 채로 살았음에도 그의 능력은 어느 때보다도 눈부신 빛을 발하였다. “한 눈으로 보니 모든 현상이 또렷이 보인다.”라고 했던 그는 양 눈의 시력을 다 잃고 난 후에 “이제야 양쪽이 같아져서 덜 혼란스럽다.”라고 했다.
시력을 잃은 상황에서도 그의 연구는 조금도 늦춰지지 않았고, 조수들의 도움으로 자신의 전체 업적 중 절반 이상을 작업했다. 그는 복잡한 계산들을 암산으로 해결한 후, 조수들이 받아 적도록 하는 방식으로 연구를 진행하였다. 오일러는 모든 계산을 암산으로 척척 해낼 만큼 암기력에서는 타의 추종을 불허하였다. 종이 수십 장에 적힌 숫자들을 하나도 틀리지 않고 정확히 기억했으며, 여든 살이 넘었어도 막히거나 실수하는 법이 없이 단어 하나 틀리지 않고 통째로 책을 암송했다고 한다.
1883년 9월 7일 오후 오일러는 가족들과 차를 마시면 담소를 나누고 소파에 앉아 손자와 장난스럽게 놀면서 부인에게 두 번째 차를 부탁한 뒤 갑자기 피고 있던 파이프 담배를 던지고 일어서더니 “나는 죽어 가고 있다.”라고 외친 뒤 조용히 눈을 감았다. 너무나 인간적이고 너무나 긍정적인 그는 수학으로 세상을 보는 눈을 우리에게 준 셈이다.
오일러의 생애 외에도 이 책에는 수많은 유명 과학자, 수학자 들이 언급된다. 그들이 오일러에게 보냈던 찬사와 비유, 그들과 오일러과의 에피소드 등을 살펴보는 것도 색다른 즐거움이 될 수 있을 것이다.
■ 책 속으로
?수학을 공부하는 어린 학생들은 이 공식의 e??π라는 기괴한 수식이 단순한 정수 -1과 같다는 사실에 매우 놀랄지도 모른다. 그러나 서로 연관되어 있지 않은 다섯 가지 숫자들(e, ??, π, 1, 0)이 퍼즐 조각처럼 깔끔하게 맞아떨어지게 되는 것에서 더 놀라워할 수도 있다. 어떤 이들은 우주적인 조율자가 어느 날엔가 이 퍼즐 조각들을 맞추어 놓고 짓궂게도 감질나게 만드는 힌트를 오일러의 책상 위에 남겨 두어 이 이해할 수 없는 숫자들의 조합을 암시했다고 생각할지도 모른다. - p.28_ 신의 방정식
?다큐멘터리 영화를 찍는 듯한 자세로 글을 쓴다면 오일러 공식의 역사를 탐험하는 사람이 환각을 일으키는 무한대의 영역에 들어가 본 후 이 익숙한 작은 수학적 표현에 놀라운 힘이 숨겨져 있음을 깨닫고, 이후 다른 수학자, 과학자, 기술자 들이 이것을 사용하여 세상을 어떻게 바꾸었는지에 대한 내용으로 요약할 수 있었을 것이다.
- p.45_ 변화를 나타내는 상수
?바젤 문제(Basel Problem)라고 알려진 이 문제는 당시에 가장 중요한 수학적 질문 중 하나라고 여겨졌다. 이때 젊은 오일러는 이 문제의 답을 π2/6이라고 풀어내어 사람들을 놀라게 하였고 국제적인 명성을 얻게 되었다. 또한 그는 π의 요상한 능력에 대한 놀라운 증거를 제시하였다. - p.63_ 이것은 심지어 굴뚝을 넘어 찾아오기도 한다
?1702년 라이프니츠는 즐거운 마음으로 “허수는 신성한 지성의 정교하고 훌륭한 재료이며, 존재와 비존재 사이에 존재하는 양서류라고 할 수 있다.”라고 평했다. 몇십 년 뒤 오일러는 “어느 누구도 우리가 허수를 계산에 포함하는 것을 막을 수 없다.”라고 평가하면서 허수를 숫자로 도입하였다. - p.73_ 존재와 비존재 사이의 숫자
?오일러는 20대에 오른쪽 눈이 감염되어 시력을 잃었고, 이후 왼쪽 눈 또한 백내장 수술에 실패하면서 사람의 얼굴이나 근처의 물건조차 볼 수 없게 되었다. 하지만 시력을 잃은 상황에서도 그의 연구는 조금도 늦춰지지 않았다. 실제로 오일러는 시력을 잃은 것에 대하여 “마음을 산만하게 하는 것이 하나 줄었다.”라고 쾌활하게 반응했다고 한다.
- p.82_ 대가의 초상화
?역사상 가장 유명한, 다섯 가지 숫자만으로 이루어진 공식, 그렇게 수학의 다른 분야에 사용되는, 중요하지만 완전히 연관성이 없어 보이는 다섯 개의 숫자들이 하나의 방정식을 이룬다는 것은 믿을 수 어려운 일이기 때문에 오일러 공식이 화제의 중심이 되었던 것이기도 하다. - p.100_ 웜홀을 지나서
?많은 수학의 개척자들이 종종 그래 왔던 것처럼 쉽게 받아들여지는 개념과 숫자를 조작하여 참신한 방정식을 도출한 다음 그 참신한 생각을 수학적, 정신적으로 확장하여 결과를 얻었다. 오일러는 이 전략을 사용하여 허수 지수가 예측하지 못하는 친숙한 숫자로 해석될 수 있다는 것을 증명했다. - p.104_ 삼각형에서 시소까지
?‘세상에서 가장 아름다운 방정식’을 얻는 것은 공원을 산책하는 것만큼이나 쉬운 일이다. 우선 e??π = cosθ + ??sinθ의 모든 θ에 π를 대입하면 e??π = cosπ + ?? sinπ가 된다.
cosπ = -1과 sinπ = 0을 대입하면 e??π = -1을 얻을 수 있다. - p.142_ 모든 것을 하나로 조합해 보자
?e를 허수로 제곱한다는 것은 복소평면의 회전 연산자라고 생각할 수 있다. 그러한 기하학적 해석을 ‘e를 ?? 곱하기 π로 제곱한다.’는 것을 뜻하는 오일러 공식에 적용해 보면, 이것은 반원 회전을 모형화하는 것을 의미한다.
- p.164_ 오일러 공식의 재해석
?현대 수학자들에게 오일러 공식은 기초적인 것으로 보일 수 있지만, 아직도 많은 수학자들은 이것이 기이할 정도로 아름답다고 느낀다. 나는 이 공식이 전형적인 ‘초월하는 것에’ 대한 느낌으로 가득하기 때문이라고 생각한다. 이 속에는 누구도 다다르지 못했던 깊으면서도 간결한 진리를 천부적인 천재가 어떻게 발견했는지에 대한 이야기가 담겨 있다. 그러므로 수학자들이 이 공식을 잘 알고 있느냐는 중요한 문제가 아니다. 오일러 공식은 그들과 나에게 영원한 즐거움으로 자리할 것이다. - p.177_ 모든 것의 의미
